Matematik Mükemmel Midir?

1874 yılında matematiğin temellerinde bir deprem yaşandı. Bu deprem ve artçı sarsıntıları matematiğin yüzünü sonsuza kadar değiştirdi. Canto ile başlayıp Hilbert ve Russell ile devam eden bu serüveni yakından tanımak istiyorsanız buyurun yazıma!

"Matematik mükemmel midir?" sorusunu yanıtlamak için beraber 1800lere bir yolculuğa çıkalım. İlkokuldan itibaren öğrenmeye başladığımız kümelerin serüveni burada, Alman Matematikçi Cantor ile başlıyor. Cantor, 1874 yılında küme teorisini ortaya atar. Cantor kümeyi şöyle tanımlar; "İyi tanımlanmış şeylerin koleksiyonuna küme denir". Örneğin; kalem kutumdaki kalemler, Türkiye'deki nehirler, Dünya'daki tüm balıklar birer küme oluşturur. Cantor'a göre bütün matematiksel objeler kümelerle temsil edilebilir ve tüm matematik mantıksal sembollerle ifade edilebilir. Cantor ayrıca sonsuz kümelerle ilgilenmektedir. "Doğal sayıların miktarı mı daha fazladır, reel sayıların miktarı mı? Yani bütün sonsuzluklar birbirinin aynısı mıdır, yoksa bazı sonsuzlar diğerlerinden daha mı fazladır?" Matematikçiler bu soruların etrafında ikiye bölünür. Sezgiciler denilen, içlerinde Poincaré ve Kronecker gibi ünlü matematikçilerin de bulunduğu bir grup Cantor'u ve küme teorisini bir hastalık olarak değerlendirir. Onlara göre matematik, insan aklının ürünüdür ve Cantor'un 'farklı' sonsuzlukları gerçek değildir. Diğer taraftan, Biçimciler (Formalistler) denilen bir grup, Cantor'un küme teorisi sayesinde matematiğin sağlam temellere oturtulabileceğini savunur. Biçimcilerin en bilinen matematikçilerinden Hilbert, matematikte şu ana kadar karşılaştıkları tüm sorunların küme teorisiyle çözülebileceğini ve matematiğin kusursuz bir sistem olduğunun kanıtının küme teorisinde saklı olduğunu savunur. "Kimse bizi Cantor'un yarattığı cennetten kovamaz." der Hilbert. 

1901'de mantıksal matematiğin savunucularından Bertrand Russell, ortaya 'kendine referanslı önerme' problemini atar. Bu problemi açıklamak için kullanılabilecek belki de en güzel metaforlardan biri Berber metaforudur. Diyelim ki, kasabanın birinde bir yasa çıkar. "Erkeklerin sakal bırakması yasaklanmıştır. Eğer erkekler kendilerini tıraş edebiliyorlarsa kendilerini tıraş etmelidirler. Eğer kendilerini tıraş edemiyorlarsa berbere tıraş olmak zorundadırlar." Bu kasabada ise tek bir berber vardır ve berberin de tıraş olması zorunludur. Fakat eğer berber kendini tıraş edebilirse, berbere tıraş olamaz; eğer kendini tıraş edemiyorsa, berbere tıraş olmak zorundadır. Yani berber ancak ve ancak kendini tıraş edemezse kendini tıraş edebilmektedir. Burada bir çelişkiye çarparız. İşte buna kendine referanslı önerme problemi adı verilir. Diğer bir deyişle kümeler; ancak ve ancak kendilerini içermezlerse, kendilerini içerebilirler. Sezgiciler, bu çelişkiyle Cantor'un küme teorisinin hatalı olduğunun ispatlandığını düşünerek havalara uçarlar. Ama Biçimcilerin işi daha bitmemiştir. Hilbert'in kurduğu okuldan Zermelo ve birkaç arkadaşı bu çelişkiyi yok etmenin bir yolunu bulurlar. Kendine referans eden kümelere, küme değil de sınıf adını verirler. Tüm kümeleri içeren 'şey' artık küme değildir ve küme özelliklerini sağlamamaktadır; o artık bir sınıftır ve sınıf tanımının özelliklerini sağlamaktadır. Bu tanımlama Sezgicileri susturmaya yetmez lakin Biçimciler küme teorisini hayata döndürürler.

Hilbert, matematiğin eksiksiz ve çelişkisiz bir sistem olduğunu ve mantıksal matematiğin ve küme teorisinin bu gerçeği ispat edeceğinden emindir. 1930 yılında verdiği bir konferansı şu sözlerle bitirir; "Bilmiyoruz ve bilemeyeceğiz diyen ahmaklara karşı, bizim sloganımız 'Bilmeliyiz ve bileceğiz' olmalıdır." Hilbert bu sözleri söylerken kalabalığın içindeki 23 yaşındaki bir gencin hayallerini yıkacağından habersizdir. Bu genç Kurt Gödel'den başkası değildir. Biçimcilerin izinden gitmekte olan Gödel bu konuşmadan bir yıl sonra doktora tezi olarak sunacağı Birinci Eksiklik Teoremiyle matematiğin eksik olduğunu ve her zaman eksik kalacağını ispatlar. Bu ispat yine kendine referans eden bir teorem yoluyla yapılmıştır. Bir düşünce deneyi yapalım ve diyelim ki bir matematik kitabında şöyle bir önerme yazılıdır: "Bu önermenin doğruluğu ispat edilemez". Eğer bu önermenin doğruluğu ispat edilebilirse, o zaman önerme yanlıştır. Eğer bu önermenin doğruluğu ispat edilemiyorsa, o zaman matematik içinde ispatlanmasının mümkün olmadığı önermeler var demektir. Bu düşünce deneyinde yola çıkan Gödel'in Eksiklik Teoremi şöyle de özetlenebilir: "Çelişkisiz bir matematiksel sistemde doğruluğunun ispatlanması mümkün olmayan önermeler vardır." Peki bu önerme sadece düşünce deneyinde kullandığımız önerme midir? Bu önermeyi kitabımızdan silersek mükemmel bir sistem elde edebilir miyiz? Matematikçiler arasındaki yaygın düşünce hayır diyor. Örneğin asal sayıların nasıl bir düzenle karşımıza çıktıklarını, yahut ikiz asalların sonsuz olup olmadığını halen bilmiyoruz ve belki de hiç bilemeyeceğiz.

Hilbert'in umutları ise halen tükenmiş değildi. 'Eksik' olduğu kanıtlanan matematiğin, çelişkisiz olduğunu halen savunuyor ve bu konuda çalışmaya devam ediyordu. Gödel ise İkinci Eksiklik Teoremiyle bu umutları da yıktı. Gödel bu teoreminde, tutarlı bir matematiksel bir sistemin kendi tutarlılığını yani çelişkisiz olduğunu ispatlayamayacağını gösterdi ve bunun sebebini de sistemin her zaman eksik olmasına bağladı.

Gödel'in iki Eksiklik Teoremi bir araya geldiğinde, elimizdeki matematiğin en iyi ihtimalle tutarlı ve eksik olduğunu fakat tutarlılığı ispatlanamayacağı için ilerde çelişkilerle karşılaşabileceğimizi gösterdi. Hilbert'in inandığının aksine matematik mükemmel değildi ve hiçbir zaman olmayacaktı. Neredeyse hiçbir matematikçinin kabul etmek istemeyeceği bu fikir, hiç kimsenin itiraz edemeyeceği biçimde kanıtlanmıştı.