Monty Hall Problemi

BİLİM VE TEKNOLOJİ

Yazar: Kampüste Ne Var?

Monty Hall Problemi, sezgiye karşı istatiksel bir bilmecedir:

3 kapı var ve bu kapıların ikisinde keçi, bir tanesindeyse araba var.

Bir tane kapı seçelim (A kapısı diyelim).

Monty Hall, programın sunucusu, diğer açılmayan kapılardan (B ve C kapıları) iki tanesine bakar ve her zaman arkasında keçi olan kapıyı (B kapısı diyelim) açar.

Sunucu sana seçtiğin A kapısını C kapısıyla değiştirmek isteyip istemediğini sorar. Kapı değiştirmenin bir şeyi değiştirmeyeceğini düşünebilirsin. Şaşırtıcı bir şekilde, kalan iki kapıda şansın yüzde 50-50 değil. Eğer diğer kapıyı seçersen kazanma şansın 2/3 oluyor. Oyun, yeni bir bilgi karşına çıktığında kararlarını tekrar değerlendirmekle ilgili.

Oyunu oynayalım

http://kampustenevar.com/upload/monty-hall-site2.jpg

Büyük ihtimalle şu an kendi kendine iki kapı yarı yarıya şans demektir diye mırıldanıyorsun. Yanıldığını görmek için bu linkten oyunu oynayabilirsin: http://www.shodor.org/interactivate/activities/SimpleMontyHall/

İlk olarak kararından sapmadan 50 kere oyunu oyna. Kazanma oranının yaklaşık olarak 1/3 civarında olduğunu göreceksin. Sonra tekrardan 20 kere, ilk seçtiğin kapıyı diğer kapıyla değiştirerek oyna. Bir kapı seç, bu arada Monty arkasında keçi olan kapıyı açacak, o zaman sen de diğer kapıyı seç. Kazanma oranının yüzde 50’den yüksek olduğunu fark edeceksin. Kapıyı değiştirmemek de olumlu sonuçlar verebilir, ancak 20 ya da daha az denemede geçerlidir. Bir bozuk paranın hileli olup olmadığını anlamak için kaç kere yazı tura atarsın? İki kere üst üste yazı gelirse paranın hileli olduğunu düşünebilirsin. Oyunu birkaç kez oynayınca ne demek istediğimizi daha iyi anlayacaksın.

Değiştirmek neden önemli?

Demin sana uğraştırıcı ama ikna edici bir şekilde kararı değiştirmenin etkisini göstermek istedik. Şimdi bir de daha kolay yoldan anlatalım:

Eğer bir kapı seçip, o kapıyı değiştirmezsen kazanma şansın 1/3'tür. Eğer ilk kararına sadık kalırsan, ne olursa olsun şansını arttıramazsın. Monty 50 kapı ekleyebilir, keçi olanları eleyip yağmur dansı yapabilir, hiç fark etmez. İlk seçeneğinle kazanacağın en büyük olasılık 1/3 tür. Bu yüzden diğer kapının arkasında araba olma şansı 2/3 tür. 

Oyunu daha iyi anlayalım

Kapıları açmanın neden değiştirmeyi daha çekici kılıyor ona bakalım. Normal oyunu biraz değiştirelim:

100 kapı var.

1 kapı seçiyorsun. 

Monty 99 kapıya bakıp, 98’ini açıyor.

İlk seçtiğiniz kapıda mı kalırsınız (1/100), yoksa 99 kapı arasından seçilmiş bir kapıyı mı seçersiniz? Mantığın biraz daha açık bir şekilde gözüküyor olması lazım: Monty 99 kapıyı ele alıyor ve 98 keçili kapıyı eleyip size olasılığı arttırılmış bir kapı veriyor. İşi bittiğinde, 99 kapı arasından en iyi olanı size sunuyor.100 tane seçenek arasından seçilmiş bir kapıyı mı (ilk seçtiğiniz kapı), yoksa 99 kapı arasından sunucu tarafından seçilmiş bir kapıyı mı tercih edersin?

Başka bir deyişle; 1 tane rastgele seçeneği mi yoksa 99 rastgele seçeneğin en iyisi mi?

Morty’nin hareketlerinin bize ne kadar yardımcı olduğunu artık daha iyi anlayabiliriz. Morty bize bir tane genel rastgele bir seçenek, bir tane de kendisi tarafından filtrelenmiş ve seçilmiş bir seçenek vermektedir. 

Yanlış Kanıların Üstesinden Gelmek

En büyük sorunumuzun, ‘yarı yarıya şans"a inanmak olduğunu düşünelim. Eğer sana iki tane futbolcu seçip, hangisinin bir sezonda daha çok gol atacağını sorarsak tahminin zorlaşır. En fazla ismi kulağa hoş geleni seçip yüzde 50-50 şansını kullanırsın, çünkü başka seçeneğin yok. Diyelim ki bu futbolculardan biri Cristiano Ronaldo ve diğeri de emeklilik yaşına girmiş, Alanyaspor’da oynayan Vagner Love. Şimdi kararın ne olur? Tabi ki de şu ana kadar sayısız kupa ve ödül kazanmış Ronaldo’yu seçersin.

Genel fikir

Daha çok bilirsen, kararın daha da iyi olur. Örnek verdiğimiz futbolculara bakarsak, tabi ki de Love’ın attığı gol sayısı Ronaldo’yu geçebilir, fakat burada olasılıklardan bahsediyoruz. İyi olanı test ettikçe, performansı daha kötü olanın onu yenmesi daha da zorlaşır. 100 kapılı oyunda da bu durum geçerlidir. İlk seçtiğiniz rastgele seçilen bir kapıdır (1/100) ve diğeri de diğerlerini her alanda yenip en çok gol atan kapıdır.

Olasılıkları görselleştirelim

Seçenekleri süzgeçten geçirmeyi, şu şekilde kafanızda canlandırabilirsiniz: İlk başta her kapının aynı şansı var. Kapıların arasında eşitçe dağılmış soluk, yeşil bir bulut düşünüyorum. Monty gereksiz kapıları (seçmediğiniz 99 kapı) elerken, bulutu iyi olan kapılara doğru iter. Bu böyle devam eder ve bulut, araba olma olasılığı yüksek olan kapıda kalır. Geriye soluk dumanlı olan senin kapın ve 98 kapının bulutunu alıp, yemyeşil parlayan ‘Şampiyon kapı’ kalır. Burada anlamamız gereken şey; Morty bizim kapımızın şansını arttırmıyor!

http://kampustenevar.com/upload/monty-hall-site3.jpg

Özet

Monty Hall bilmecesini anlamak için şu noktaları iyi anlamak lazım:

İki seçenek hakkında bir bilgin yoksa, şansınız yüzde 50-50 dir.

Monty bize gereksiz seçenekleri eleyerek yardım eder. Geriye rastgele seçtiğimiz kapıyla ‘Şampiyon kapı’ kalır. 

Genelde, daha çok bilgi tekrar gözden geçirmeyi gerektirir.

Amaç aslında bu oyunu öğrenmek değil, sonradan gelen hareketlerin ve bilginin önceki kararları zorlamasını anlamaktır. 

 

Kaynak: betterexplained.com